Заведующий лабораторией динамических систем Института математики им. С.Л. Соболева академик Искандер Асанович Тайманов рассказал редакции «Науки в Сибири» об основных тенденциях этой точной науки.
Искандер Асанович Тайманов закончил Московский государственный университет в 1983 году, в 1987 защитил диссертацию на соискание кандидатской степени в области физико-математических наук, позднее в Математическом институте им. В.А. Стеклова (Москва) подготовил и защитил докторскую. Искандер Асанович начал работу в ИМ СО РАН в 1987 в должности младшего научного сотрудника, с 2003 года является заведующим лабораторией. С 1991 года ученый работает в Новосибирском государственном университете, с 2005 года возглавляет там кафедру геометрии и топологии.
Любое мнение о том, в каком направлении сейчас развивается математика, конечно, будет субъективным, однако, с некоторыми фактами согласятся многие.
Развитие дискретной и вычислительной математики в большой степени проходит под влиянием интернет-технологий и роста мощности современных компьютеров, и здесь мне хотелось бы избежать оценочных суждений. В других областях столь веских технологических причин и стимулов нет, но, безусловно, привлекают внимание сформулированные в начале 21-го века Институтом Клэя семь «проблем тысячелетия».
Одна из этих проблем решена — гипотезу Пуанкаре доказал наш соотечественник Гриша Перельман с помощью сложной техники дифференциальных уравнений. Заметим, что на протяжении многих лет было известно, что эта гипотеза эквивалентна чисто алгебраическому утверждению, которое и пытались доказать многие известные специалисты по теории групп. То, что эту проблему решили совершенно другими методами, демонстрирует глубокое внутреннее единство математики и необходимость разностороннего подхода к известным задачам.
Здесь уместно процитировать выдающегося математика Стефана Банаха, сказавшего: «Хорошие математики видят аналогии между теоремами или теориями, но лишь лучшие из них видят аналогии между аналогиями».
Другие шесть «проблем тысячелетия» остаются открытыми, хотя решения по крайней мере двух из них, относящихся к математическим вопросам гидродинамики (регулярность решений уравнения Навье-Стокса) и теории сложности (P=NP?), не столь редко анонсируются, что является проявлением высокой активности исследований в этих направлениях.
Прошедший год стал годом международного математического конгресса, на котором были традиционно вручены медали Филдса, присуждающиеся за выдающиеся математические достижения ученым не старше 40 лет.
Работы двух из четырех лауреатов 2014 касаются пространств Тейхмюллера — пространств модулей римановых поверхностей. Богатство этих объектов привлекает к их изучению специалистов по геометрии и топологии, динамическим системам, алгебре и математических физиков. Последнее связано с активным проникновением методов квантовой теории поля в современную математику и, в том числе, в алгебраическую геометрию, сопровождающимся и постановками новых интересных задач. Это может показаться удивительным, если забыть о том, как тензорный анализ и дифференциальные формы постепенно пришли аналогичным образом из механики и физики, начиная с середины 19-го века.
Успех, связанный с доказательством гипотезы Пуанкаре, сделал в последние годы самой популярной темой геометрических конференций так называемые геометрические потоки, упрощающие или униформизующие те или иные геометрические объекты. Изучение и применение этих потоков невозможно без сложной аналитической техники.
Сторонний наблюдатель должен отметить, наверное, еще два направления — развитие теории стохастических процессов и дифференциальных уравнений в связи с задачами естествознания и математическую биологию. В последнем случае имеется в виду не только биоинформатика, но и применение современных методов математики, физики и компьютерных наук в системной биологии. Знаковым здесь является недавнее открытие Саймонсовского Центра системной биологии в Институте перспективных исследований в Принстоне, программа исследований которого подразумевает именно интеграцию этих наук в интересах биологических исследований.
Сказанное приводит к заключению о том, что одним из основных трендов развития современной математики является взаимодействие с другими областями и дисциплинами и сопровождающее его выявление «аналогий между аналогиями».
Искандер Тайманов
Фото: prometeus.nsc.ru
