В лаборатории теории групп Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН ведет свои фундаментальные исследования доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Мария Александровна Гречкосеева.
— Моя диссертация (ее я защитила в 2014-м году) — это объем накопленных статей, посвященных исследованию свойств конечных простых групп, которые представляют собой некоторые алгебраические объекты. Работа называется «Композиционное строение групп, изоспектральных простым группам лиева типа», — поясняет Мария Александровна. — «Изо» означает «имеющий что-то такое же, как у чего-то другого», а спектр — это множество порядков элементов группы, которые можно возводить в степень как обычные числа. И вот теперь представим, что есть две группы, имеющие одинаковые множества. Это и значит «изоспектральные», то есть с одинаковыми множествами порядков элементов. Хотелось бы, чтобы из этого следовало, что и сами группы идентичны.
Простые группы — это некоторого рода аналог простых натуральных чисел. Каждая конечная группа как бы собрана из других. В теории чисел важно изучать такие основополагающие элементы, так как все задачи в итоге сводятся именно к ним. По этой же причине и в теории групп необходимо исследовать простые алгебраические объекты.
Что касается групп лиева типа, то их наименование восходит к алгебрам Ли, которые, в свою очередь, названы в честь норвежского математика XIX века Софуса Ли. Этот тип простых конечных групп – самый многочисленный, со множеством семейств и рангов. Все статьи Марии Александровны посвящены распознаванию объектов по их спектру. Задача — восстановить группу по множеству порядков ее элементов.
— Есть примеры, когда для одного и того же множества можно построить бесконечное количество разных групп, — рассказывает ученый. — Возникла гипотеза: если есть простая группа и какая-то неизвестная, имеющая такое же множество порядков элементов, то они либо одинаковые, либо очень близкие. Исследованием такого предположения я в целом и занимаюсь. В своей диссертации я как раз решаю некоторые задачи, посвященные этой проблеме.
Темой распознаваемости групп исследователь занимается и совместно с другими учеными. Уже завершена статья, выполненная вместе с главным научным сотрудником ИМ СО РАН доктором физико-математических наук Андреем Викторовичем Васильевым.
— Мы хотим доказать, что простые конечные группы, как правило, распознаются по спектру, то есть они единственные в своем роде именно с таким множеством порядков элементов. Поставленная задача — понять для каждого алгебраического объекта как устроена изоспектральная ей конструкция. Если вам встретилась некая группа, с определенным спектром, то это та самая простая группа или очень близкая ей. Остается вопрос, для каких объектов, кроме простых, это тоже верно.
Также есть несколько совместных работ с китайскими и иранскими коллегами. Самой проблемой распознаваемости групп по спектру начали заниматься именно ученые Китая. В России же эту тему популяризовал член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Виктор Данилович Мазуров.
По словам Марии Александровны, в скором времени для каждой группы лиева типа эта проблема будет закрыта.
— Очень часто задачу сперва решают при достаточно больших показателях «n». Если «n» больше, например, чем 100, то задача решена. Потом еще остаются какие-то небольшие значения, с которыми можно долго разбираться. Так вот с проблемой распознаваемости групп по спектру через год — два для всех достаточно больших значений все будет понятно, а цель — достигнута. Чтобы завершить исследование, до недавнего времени оставалось закрыть несколько пробелов в доказательстве, что и было сделано усилиями нашего Института. Теперь стало понятно, что скоро все исследование подойдет к концу.
Теория групп с точки зрения ее практического приложения — это некая «вещь в себе». Однако и у нее есть некоторые возможности для последующего применения, например, подобные исследования помогают построить какую-либо теорию в разных областях точных наук. Достижения в математике могут применяться в последствии в теоретической физике или при кодировании информации. Мария Александровная Гречкосеева намерена продолжать свою работу в области изучения групп:
— Буду продолжать заниматься чем-то связанным с простыми группами. Простые группы, они как и простые числа, возникают во многих задачах. Часто к ним можно свести всю задачу.
Анна Терехова
Фото автора
