Что такое дифференциальные уравнения?

Один из примеров дифференциальных уравнений

Что представляют собой дифференциальные уравнения? Как они применяются в науке и какие проблемы помогают решить? 

младший научный сотрудник лаборатории гидроаэроупругости Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН кандидат физико-математических наук Алексей Игоревич Фурцев

Как известно, в современной науке, стремящейся к описанию наблюдаемых природных или общественных явлений, значительная роль принадлежит математике. Теория дифференциальных уравнений, являясь одним из крупных разделов математики, в то же время всегда была и остается тесно связанной с приложениями.

Рассматривая математику как способ проникновения в тайны окружающего нас мира, можно сказать, что основным приемом исследования является формирование и изучение математических моделей реальных явлений. Исследуя какие-либо явления, ученый в первую очередь создает математическую идеализацию или, иначе говоря, математическую модель. Математическая модель есть не что иное, как запись основных законов, описывающих явление, в математической форме. И очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений, соотношений между функциями и их производными: в приложениях функции обычно представляют изменяющиеся величины, а производные описывают скорость их изменения. Такое выражение допускают модели многих явлений механики сплошных сред, химических реакций, фундаментальных физических взаимодействий, биологических и экономических процессов и так далее.

Изучая полученные дифференциальные уравнения, исследователь извлекает полезные сведения о происходящих явлениях, часто может узнать их прошлое и предсказать будущее, получить качественные оценки происходящих в течение процесса изменений и даже открыть новые феномены, выдвинуть новые гипотезы, которые, быть может, приведут к более совершенным научным воззрениям и приоткроют завесу тайны окружающего мира. Таким образом, теория дифференциальных уравнений широко используется при решении научных проблем как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов.

Вместе с тем следует помнить, что математическая модель сама по себе является объектом и может обладать собственными свойствами, не имеющими отношения к моделируемому процессу. Модель не всегда адекватна конкретному явлению: так, например, из существования решения реальной задачи (существование наблюдаемого процесса обычно не вызывает сомнений ученых) не следует существование решения соответствующей математической задачи; или же может оказаться, что решений математической задачи много; или же решение неустойчиво к изменениям данных. Именно поэтому главной целью теории дифференциальных уравнений в первую очередь является изучение внутренне присущих свойств задач, сформулированных на языке дифференциальных уравнений: исследование их корректности, разрешимости, качественных и количественных характеристик решений, взаимосвязи и классификации. Несмотря на то, что изучением дифференциальных уравнений научное сообщество занимается уже несколько веков, цель эта в общем случае настолько трудна, что если некто наугад напишет произвольное дифференциальное уравнение, то с большой долей вероятности ни один математик в мире ничего не сможет про это уравнение сказать. 

В настоящее время теория дифференциальных уравнений представляет собой обширную и широко разветвленную теорию, находящуюся в постоянном взаимодействии с другими науками. Приложения снабжают ее новыми проблемами, решая которые, теория дифференциальных уравнений обращается к остальным разделам математики, таким как алгебра, функциональный анализ, теория функций, геометрия, теория вероятностей, вычислительная математика. В то же время прогресс в перечисленных разделах математики неизбежно приводит к достижениям в теории дифференциальных уравнений, что опять же дает толчок развитию приложений. Другими словами, как писала академик Ольга Арсеньевна Олейник, теория дифференциальных уравнений «лежит на перекрестке математических дорог», служит мостом между чистыми и прикладными науками, показывает направление новым веяниям фундаментальной науки на пути к приложениям, одновременно стимулируя совершенствование математического аппарата с оглядкой на прикладные нужды. 

Фото и изображение предоставлены исследователем